Matematika

Mocniny a odmocniny

Mocnění je násobení čísla samo sebou. Když vynásobíme mezi sebou dvě stejná čísla, jde o mocnění na druhou. Když tři, mocníme na třetí. Když čtyři tak na čtvrtou, a tak dále. Důležité však je, že stále násobíme pořád jedno a to samé číslo. Pokud to tedy zapíšeme obecně, pomocí proměnných (písmeno zastupující nějakou hodnotu, která se mění, v tomto případě můžeme za proměnné dosadit jakékoliv číslo), máme:

 Můžeme tedy například říci, že druhá mocnina čísla dva jsou čtyři, protože 2•2=4. Přejdeme-li k vyšším mocninám, platí například, že třetí mocnina čísla pět je 125, protože 5•5•5=125. 

Pokud jsou čísla různá, nemá to s mocněním nic společného a zápis nijak zjednodušit nemůžeme. Jedině můžeme při zápisu pomocí neznámých vypustit znaménko násobení, ať už křížek nebo tečku. Narozdíl od čísel, která mohou mít vícero cifer a bez těchto znamének by tak násobení nedávalo vůbec smysl, jsou neznámé vždy zastoupeny jen jedním písmenem. Psaní znaménka je tedy zbytečné, vyjde to nastejno bez něj a ušetří se tím trocha času a prostoru na papíře. 

Opačnou operací k mocnění je odmocňování. Jeho princip je takový, že máme číslo a chceme říci, vynásobením kterého čísla samo sebou (umocněním) naše číslo vznikne. Narozdíl od mocnění se tato operace provádí manuálně velmi složitě a proto k ní budete mít nejspíše vždy a všude k dispozici kalkulačku. Odmocňování značíme symbolem √, pod který umístíme číslo, které chceme odmocnit. Obecně platí:

Pokud u symbolu √ není napsané žádné malé číslo, jde o druhou odmocninu. Jiné odmocniny se značí zapsáním čísla odpovídajícímu dané mocnině takto ke zmíněnému symbolu ∛.

S mocninami jste se zcela jistě již jednou setkali, při výpočtu obsahu čtverce: 

 Se znalostí odmocnin například můžeme spočítat délku strany čtverce, i když známe jen jeho obsah:

S mocninami souvisí i tzv. vědecký zápis čísla. Ve vědě, a v astronomii zejména, se často setkáváme s nepředstavitelně malými nebo naopak velkými čísly. Třeba taková astronomická jednotka odpovídá 149597871000 metrům, světelný rok pak dokonce 9460528400000000 metrům. Rozměr jádra atomu je pak zase pouhých 0,000000000000001 metru. Takováto čísla je velmi nepraktická zapisovat s takovým počtem nul. Pro zjednodušení a zkrácení zápisu se proto používá vědecký formát čísla. Využívá mocnin deseti. Třeba světelný rok pomocí něj můžeme zaokrouhleně zapsat takto:

Abychom se z tohoto zápisu dostali zpět k "normálnímu číslu", posuneme desetinnou čárku vpravo o tolik míst, na kolikátou je desítka umocněna, tedy o patnáct. U malých čísel vypadá zápis trochu jinak. Třeba jeden nanometr, tedy miliardtinu metru, můžeme zapsat takto: 

Je-li u čísla, na které umocňujeme desítku (odborně u exponentu), znaménko minus, posouváme desetinnou čárku vlevo namísto vpravo. Pokud tedy tento zápis "rozšifrujeme", odpovídá nanometr 0,000000001 metru. Na závěr ještě jako příklad uvedeme vědecký zápis astronomické jednotky.

Pythagorova věta

Mocniny a odmocniny nachází v geometrii využití zdaleka ne jen v případě čtverce. Dalším důležitým rovinným útvarem je trojúhelník. Konkrétně se nejdříve podíváme na trojúhelník pravoúhlý. Jde o trojúhelník, ve kterém je jeden ze tří úhlů svíraný jeho stranami pravý, tedy má hodnotu 90° (v obrázku u bodu C). Pravý úhel už jistě také znáte, jak čtverec, tak obdélník, mají všechny čtyři úhly pravé. Právě s pravoúhlými trojúhelníky je počítání nejjednodušší. Strany v takovém trojúhelníku totiž své speciální názvy. Dvě z nich se nazývají odvěsny, třetí přepona. A jaký je mezi nimi rozdíl? Přepona je nejdelší strana v tomto trojúhelníku a nachází se vždy naproti pravému úhlu. Odvěsny jsou dvě zbývající strany, které se stýkají ve vrcholu s pravým úhlem. Délky odvěsen a přepony jsou navzájem spojeny Pythagorovou větou.

Obr. 1: Strany v pravoúhlém trojúhelníku

"Součet obsahů čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu čtverce nad jeho přeponou." 

A co to znamená v řeči neznámých? Označíme strany trojúhelníku si písmeny a, b a c, přičemž a a b jsou odvěsny a c je přepona. Čtverec nad odvěsnou i nad přeponou je jednoduše čtverec o straně, jejíž délka je rovná délce dané strany trojúhelníku. Obsah tohoto čtverce je tedy roven druhé mocnině délky dané strany trojúhelníku. Pythagorovu větu tedy konečně můžeme matematicky zapsat takto: 

Díky ní můžeme spočítat délku jakékoliv strany pravoúhlého trojúhelníku, známe-li délky dvou zbývajících stran. To je velmi užitečné v mnohem více případech, než se může zdát.

Obr. 2: Znázornění Pythagorovy věty s obsahy čtverců [2]

Logaritmy

Logaritmus je opakem mocnění. Říká nám, na kolikátou musíme umocnit nějaké číslo, abychom dostali další číslo. Obecně můžeme zapsat logaritmus následovně:

Základ a musíme umocnit na y, abychom získali číslo x (nazývané jako argument logaritmu). Základem a jsou často nějaká specifická čísla. Pokud jde o 10, základ se k logartimu nepíše. Značka log tedy automaticky znamená logaritmus o základu 10, nazývaný jako dekadický. Pokud je základem takzvané Eulerovo číslo (e=2,71828…), jde o tzv. přirozený logaritmus, který se značí zkratkou ln namísto log.

Na kalkulačce naleznete obvykle dekadický i přirozený logaritmus. Pokud je potřeba do argumentu logaritmu dosadit nějakou matematickou operaci (jako např. dělení v případě Pogsonovy rovnice), ohraničte ji závorkami.

Co však udělat, pokud chceme zjisit číslo z argumentu logaritmu? Musíme provést tzv. odlogaritmování. Argument logaritmu umístíme na levou stranu rovnice, na pravou pak dáme základ umocněný na původní levou stranu rovnice. Pokud se před logaritmem nacházel nějaký číselný koeficient nebo další neznámá, vydělíme jí mocninu základu na pravé straně. Pro příklad uvedeme odlogaritmování Pogsonovy rovnice:

Zdroje:

[1] Michal Benda CC BY-NC-ND

[2] https://www.diktatyapriklady.cz/pythagorova-veta/