Nebeská mechanika

Úvod

Prvním tematickým blokem, kterým se v naší soutěži budeme zabývat, je tzv. nebeská mechanika. A co že to vlastně je? Mechanika se zabývá pohybem těles, nebeská mechanika je pak mechanika aplikovaná na kosmická (nebeská) tělesa, například planety, měsíce, asteroidy, ale třeba i hvězdy. Jak už to tak ve fyzice bývá, vše můžeme popsat pomocí někdy docela jednoduchých, jindy naopak složitých rovnic. S některými z těchto rovnic se seznámíme, a stejně tak pochopíme základní principy, na kterých tyto rovnice stojí. K jejich pochopení budeme potřebovat i nějaké základní matematické koncepty, vše potřebné ale naleznete v části Matematika. Prvním tématem jsou aspekty planet.

Aspekty planet

Pod pojmem aspekty planet se rozumí několik astronomických pojmů, které označují významná postavení planet vůči Zemi a Slunci. Planety rozdělujeme do dvou skupin - vnitřní a vnější. Vnitřní planety obíhají kolem Slunce blíže než Země (Merkur a Venuše), vnější dále než Země (Mars, Jupiter, Saturn, Uran a Neptun). Kromě toho můžeme stejné aspekty rozlišovat u všech těles ve Sluneční soustavě, převážná většina z nich však kolem Slunce obíhá dále než Země a rozlišujeme u nich tedy stejné aspekty jako u vnějších planet.

Obr. 1: Umělecká představa Sluneční soustavy [1]

Aspekty vnitřních planet

Horní a dolní konjunkce

Je-li vnitřní planeta na spojnici Země-Slunce mezi těmito dvěma tělesy, nachází se v dolní konjunkci. Je-li na této spojnici za Sluncem, jedná se o horní konjunkci. V obou případech není ze Země pozorovatelná, jelikož se nachází přímo před Sluncem, respektive za ním. Dráhy planet jsou sice mírně skloněny, takže planeta není přímo před slunečním diskem, i tak je ale Slunci na obloze příliš blízko na to, aby se dala pozorovat.

Elongace

Ve chvíli, kdy je úhel Slunce-planeta-Země roven 90°, je planeta v největší západní nebo východní elongaci. V těchto pozicích je vnitřní planeta ze Země vůbec nejlépe pozorovatelná, jelikož se na obloze dostane nejdále od Slunce.

Obr. 2: Aspekty planet ve Sluneční soustavě [2]

Aspekty vnějších planet

Opozice

Planeta se nachází na přímce Slunce-Země za Zemí. Je tedy přesně na opačné straně oblohy než Slunce a nastávají nejlepší podmínky pro její pozorování.

Konjunkce

U vnější planety se nerozlišuje horní a dolní a je tímto pojmem označována situace, kdy je planeta na přímce Slunce-Země za Sluncem. Planeta je tudíž ze stejného důvodu jako v případě konjunkce vnitřních planet nepozorovatelná.

Kvadratura

Při východní a západní kvadratuře je úhel Slunce-Země-planeta pravý. Pro pozorování planety však nemá žádný zvláštní význam.

K čemu je nám to však dobré a kde se znalost aspektů planet může hodit? Známe-li velké poloosy drah planet (které v tomto případě můžeme považovat za kruhové), můžeme po uvedení aspektu spočítat vzdálenost planety od Země. Někdy k tomu stačí pouhé sčítání a odčítání, jindy je potřeba Pythagorova věta. Více o ní v části Matematika.

Kružnice a elipsy

Dříve než se podíváme na samotnou astronomii, bude důležité se seznámit se dvěma důležitými pojmy z geometrie, kterými jsou kružnice a elipsa. Kosmická tělesa se totiž většinou pohybují právě po drahách s tvarem elipsy. Po elipse obíhají sondy kolem Země, Země a všechny další planety kolem Slunce, ale i třeba Slunce kolem středu Galaxie. V mnoha situacích je však elipsa velmi podobná kružnici, což můžeme využít ke zjednodušení popisu pohybu těles.

Kružnice

"Kružnice je množina bodů v rovině se stejnou vzdáleností od bodu, který nazýváme střed kružnice." 

Kterýkoliv bod, který vyznačíme na kružnici, je od středu vzdálen úplně stejně jako jakýkoliv jiný bod na jejím obvodu vyznačený. Nejdůležitějším údajem, který charakterizuje kružnici, je její poloměr (R), který udává právě vzdálenost jejích bodů od středu. Dvojnásobkem poloměru je pak průměr (D). Důležité je také rozlišovat kružnici, kterou představuje jedna čára, od kruhu, který představuje plochu ohraničenou kružnicí.

Obr. 3: Kružnice [3]

K výpočtu obvodu kružnice a obsahu kruhu je potřeba tzv. čísla π (čti pí), tzv. Ludolfovo číslo. Získáme ho, když vydělíme obvod jakékoliv kružnice jejím průměrem. Jde o číslo s nekonečným rozvojem, má tedy nekonečně mnoho desetinných míst. Nám postačí jen prvních několik z nich, které jsou přednastavené v každé lepší kalkulačce. Zaokrouhleně je hodnota tohoto čísla rovna 3,14. Obvod kružnice vypočteme jako

, kde r je poloměr kružnice. Jak už jistě vidíte, můžeme tento vzorec jednoduše přepsat tak, abychom namísto poloměru použili průměr, pak platí o=πd. Obsah kruhu zjistíme jako:

Elipsa

"Elipsa je množina bodů v rovině se stejným součtem vzdáleností od dvou bodů, které se nazývají ohniska."  

Když si na elipse zvolíme libovolný bod, označme ho třeba P, součet jeho vzdáleností od ohnisek F1 a F2 bude vždy stejný. Střed elipsy (C) se pak nachází přesně v polovině úsečky spojující její ohniska.

Obr. 4: Elipsa

S elipsou se dále pojí pojmy velká (a) a malá poloosa (b). Velkou poloosu najdeme, když narýsujeme polopřímku s počátkem ve středu elipsy, která prochází jedním z ohnisek. Velká poloosa se poté měří po této polopřímce od středu po průsečík se samotnou elipsou. Malou poloosu měříme po kolmici na spojnici ohnisek procházející středem, taktéž od středu po průsečík s elipsou.

Hodnota délky úsečky spojující střed elipsy s jedním z ohnisek se nazývá jako lineárních excentricita, kterou budeme značit obvykle jako c. Když vydělíme lineární excentricitu velkou poloosou, získáme tzv. numerickou excentricitu, e=c/a. Čím větší je numerická excentricita, tím dále od sebe se ohniska nacházejí. Čím menší, tím blíže. Když je tedy numerická excentricita nulová, obě ohniska se nacházejí ve středu a z elipsy se stává kružnice. Kružnice je tedy speciální případ elipsy s nulovou numerickou excentricitou.

Obsah elipsy získáme jako:

Zajímavé je, že platí, že součet vzdáleností libovolného bodu na obvodu elipsy od ohnisek je nejen vždy stejný, ale je zároveň roven dvojnásobku velké poloosy:

Představme si nyní, že bod P vyznačíme v místě, kde se malá poloosa protíná s elipsou. Získáme tak dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Jeho odvěsny odpovídají malé poloose a lineární excentricitě. Přepona je poté rovna polovině součtu vzdálenosti od ohnisek. Ten je dle předchozí rovnice roven 2a a přepona tohoto trojúhelníku je tedy rovna velké poloose. Jelikož se jedná o pravoúhlý trojúhelník, můžeme použít Pythagorovu větu. Lineární excentricita a malá a velká poloosa jsou tedy svázány následujícím vztahem:

Úvod do Keplerových zákonů

Na počátku sedmnáctého století formuloval Johannes Kepler tři zákony o pohybu nebeských těles. Učinil tak na základě velmi přesného pozorování planet, která provedl Tycho Brahe v Praze na začátku 17. století. První dva popsal ještě během svého pobytu v Praze, třetí o několik let později v Německu. Jednalo se o skutečnou vědeckou revoluci. V jistém slova smyslu Keplerovy zákony znamenaly počátek fyziky, astronomie a přírodních věd tak, jak je dnes známe. Právě na ně navázal svou prací Isaac Newton a mnoho dalších vědců, kteří fyziku a s tím i techniku dovedly do dnešní podoby.

Obr. 5: Socha Johannese Keplera a Tycha Braheho před Keplerovým gymnáziem v Praze

1. Keplerův zákon

"Planety se kolem Slunce pohybují po málo výstředných elipsách, které mají v jednom ze svých ohnisek Slunce."

Co je elipsa, už víme. Planety se pohybují po eliptických drahách, které jsou velmi blízké kružnici. Numerická excentricita dráhy Země například dosahuje hodnoty pouhých 0,017. Během svého oběhu se planeta od Slunce, které je v jednom z ohnisek elipsy, opakovaně vzdaluje, a poté k němu zase přibližuje. Bod největšího přiblížení se nazývá perihélium. V tuto chvíli můžeme vzdálenost planety od Slunce vypočítat následující rovnicí:

Když je naopak planeta od Slunce nejdále, vypočítáme její vzdálenost obdobným vzorcem, jen s odlišným znaménkem:

Konkrétně u Země pak rozdíl vzdáleností v perihéliu a aféliu činí asi 5 milionů kilometrů. Největší excentricitu ze všech planet má Merkur, nejmenší Venuše. Stejným způsobem můžeme počítat vzdálenosti od Slunce i v případě většiny ostatních těles ve Sluneční soustavě s výjimkou těch, které obíhají po parabole nebo hyperbole. Planety mají ze všech těles excentricitu nejmenší. Největší mají naopak komety, které se v aféliu vzdalují na tisíce astronomických jednotek daleko do tzv. Oortova oblaku.

A co že je to astronomická jednotka? Jde o délkovou jednotku používanou v astronomii právě při popisu pohybu těles kolem Slunce. V kilometrech bychom totiž dostávali neprakticky velká čísla, ve světelných letech či parsecích naopak neprakticky malá. Jedna astronomická jednotka je rovna střední vzdálenosti Země od Slunce, tzn. velké poloose dráhy, po které naše planeta svou hvězdu obíhá:

Součet vzdáleností v perihéliu a aféliu je roven dvojnásobku velké poloosy. Jejich rozdíl pak dvojnásobku lineární excentricity. S touto znalostí můžeme vzorec pro výpočet numerické excentricity zapsat následovně:

2. Keplerův zákon

"Průvodič planety opíše za stejný čas stejnou plochu."

Průvodič je pojem označující spojnici planety a Slunce, tzn. úsečku vymezenou aktuální pozicí těchto těles. Plocha, kterou opíše třeba za dva dny je rovná té, kterou opíše za další dva dny. A místo dvou dní si můžeme dosadit libovolnou časovou jednotku. Rovnost opsaných ploch bude platit vždy. Aby však byly plochy opsané průvodičem byly rovné, ať už je těleso na elipse kdekoliv, musí být dráha opsaná samotnou planetou rozdílná. Dokazuje to obrázek níže. Barevně zvýrazněné plochy, výseče, mají stejnou plochu a byly průvodičem opsány za stejný čas. V důsledku toho se tedy během oběhu mění rychlost planety. Dokazuje to obrázek níže. Barevně zvýrazněné plochy, výseče, mají stejnou plochu a byly průvodičem opsány za stejný čas. Jejich obvod je však rozdílný a proto se musela měnit i rychlost planety. Můžete si všimnout, že čím blíže Slunci planeta je, tím delší dráhu opíše. Největší rychlosti tedy dosahuje v perihéliu, nejmenší naopak v aféliu.

Obr. 6: Dvě plochy opsané průvodičem planety za stejný čas [4]

Rychlost planety tedy závisí na její vzdálenosti od Slunce. Stejně tak je tomu však i u jakéhokoliv jiného tělesa Sluneční soustavy, i například u Měsíce ve vztahu k Zemi. Pokud se omezíme čistě na okamžiky, kdy je planeta v perihéliu nebo aféliu, můžeme jejich rychlosti a vzdálenosti svázat následující rovnicí vycházející ze zákona zachování momentu hybnosti:

3. Keplerův zákon

"Třetí mocnina velké poloosy dráhy planety je rovna druhé mocnině její oběžné doby."

Poslední z Keplerových zákonů je nejobtížnější a Johannesu Keplerovi tak zabral nejvíce času, publikoval ho až 10 let po prvních dvou. Úplného objasnění a své obecné formy se dočkal dokonce až o několik desítek let později, po smrti Johannese Keplera, s novou teorií gravitace Isaaca Newtona. Tento zákon nám dává do souvislosti oběžnou dobu planety a velkou poloosu její dráhy. Uvedená závislost tedy vypadá matematicky takto:

Platí však pouze za specifických podmínek. Planeta nebo další těleso musí obíhat kolem Slunce (tudíž nejde použít třeba pro případ Měsíce obíhajícího kolem Země nebo exoplanety kolem jiné hvězdy). Druhou podmínkou je, že za velkou poloosu musíme dosadit v astronomických jednotkách (základní jednotkou vzdálenosti jsou přitom metry) a za oběžnou dobu v rocích (základní jednotkou času jsou však sekundy). Častěji se s ním setkáte ve tvaru:

Tento poměr je shodný pro všechna tělesa obíhající kolem stejného centrálního tělesa. Ve Sluneční soustavě tedy platí ve všech případech kromě měsíců jiných těles. V planetární soustavě u jiné hvězdy bude tento poměr také pro všechna tělesa kromě měsíců stejný, nebude však mít hodnotu 1. A na čem tedy hodnota tohoto poměru závisí? Jde o hmotnost centrálního tělesa. U tělesa obíhajícího kolem jiné hvězdy má tento poměr hodnotu odpovídající hmotnosti dané hvězdy v násobcích hmotnosti Slunce (M):

V mnoha případech je však počítání s astronomickými jednotkami, roky a hmotnostmi Slunce velmi nepraktické. Díky Newtonově teorii gravitace však můžeme 3. Keplerův zákon zapsat i tak, abychom do něj mohli dosadit ve standardních jednotkách. Těmi jsou metry, sekundy a kilogramy. Rovnice poté vypadá takto:

Oproti dříve uvedeným vzorcům nám zde přibylo písmeno G. Jde o tzv. gravitační konstantu. Její hodnota je tedy vždy stejná a jen ji dosadíme. Jde však o něco úplně jiného než známé g. To je gravitační zrychlení u povrchu Země. Hodnota G je:

Zdroje:

[1] https://pixers.cz/plakaty/solarni-system-z-vesmiru-68669672

[2] Beren, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2855822

[3] By Jokes Free4Me - This file was derived from:Circle-1.png by DrBob, Frencheigh and GuanacoCIRCLE 1.svg by Optimager, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25339464

[4] https://www.jove.com/science-education/12755/kepler-s-second-law-of-planetary-motion